1. Gerarchia e natura delle trasformazioni
Definizione: figure omotetiche Se due figure sono simili e ogni coppia di punti corrispondenti giace su una retta che passa per uno stesso punto, queste figure si dicono omotetiche, e quel punto si chiama centro di omotetia.
Le figure congruenti sono un caso particolare di figure simili con rapporto di similitudine pari a 1. La traslazione, la simmetria assiale e la rotazione preservano la congruenza. L'omotetia cambia invece la dimensione tramite scalatura, mantenendo però la forma.
2. Vincolo fondamentale dalla similitudine all'omotetia
Le figure simili richiedono solo angoli corrispondenti uguali e lati corrispondenti in proporzione; le figure omotetiche aggiungono ulteriormente il vincolo forte che ogni coppia di punti corrispondenti giaccia su una retta che passa per lo stesso punto.
Proprietà: proprietà delle figure omotetiche
1. Le figure omotetiche sono sempre simili, ma figure simili non sono necessariamente omotetiche.
2. Il rapporto tra le distanze dei punti corrispondenti dal centro di omotetia è uguale al rapporto di similitudine.
3. Passaggio a dimensioni superiori: legge del quadrato dell'area
Comprendere come il rapporto tra i lati (rapporto di similitudine $k$) influisca sulle proprietà di ordine superiore: il rapporto tra i perimetri segue $k$, mentre il rapporto tra le aree segue $k^2$. Questa regola intrinseca risulta particolarmente evidente nella trasformazione omotetica.
Se si aumentano tutti i lati di un cartellone pubblicitario di $10\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ del 300%, il perimetro diventa 3 volte quello originale, ma l'area coperta aumenta esattamente di un fattore $3^2=9$.